Firebaseでの認証までのサンプルです。

build.gradle(Module.app)

dependencies {
    compile fileTree(include: ['*.jar'], dir: 'libs')
    androidTestCompile('com.android.support.test.espresso:espresso-core:2.2.2', {
        exclude group: 'com.android.support', module: 'support-annotations'
    })
    compile 'com.android.support:appcompat-v7:25.3.1'
    compile 'com.android.support.constraint:constraint-layout:1.0.2'
    testCompile 'junit:junit:4.12'
    compile 'com.android.support:design:25.3.1'
    compile 'com.google.firebase:firebase-auth:10.2.6'
    compile 'com.google.firebase:firebase-database:10.2.6'
}

activity_main.xml
レイアウトは簡単なログイン画面を用意しました。

<RelativeLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
    xmlns:app="http://schemas.android.com/apk/res-auto"
    xmlns:tools="http://schemas.android.com/tools"
    android:layout_width="match_parent"
    android:layout_height="match_parent">

    <TextView
        android:id="@+id/new_user_text_view"
        android:layout_width="wrap_content"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:layout_centerHorizontal="true"
        android:text="ログイン画面"
        android:textAppearance="?android:attr/textAppearanceLarge" />

    <RelativeLayout
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:layout_below="@+id/new_user_text_view"
        android:layout_marginTop="20dp">

        <TextView
            android:id="@+id/email_text_view"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_alignBottom="@+id/email_edit_text"
            android:layout_alignRight="@+id/password_text_view"
            android:layout_alignTop="@+id/email_edit_text"
            android:gravity="center"
            android:text="Email:"
            android:textAppearance="?android:attr/textAppearanceMedium"
            android:textColor="@android:color/black" />

        <TextView
            android:id="@+id/password_text_view"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_alignBottom="@+id/password_edit_text"
            android:layout_alignTop="@+id/password_edit_text"
            android:gravity="center"
            android:text="Password:"
            android:textAppearance="?android:attr/textAppearanceMedium"
            android:textColor="@android:color/black" />

        <EditText
            android:id="@+id/email_edit_text"
            android:layout_width="match_parent"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_toRightOf="@id/email_text_view"
            android:text="" />

        <EditText
            android:id="@+id/password_edit_text"
            android:layout_width="match_parent"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_below="@+id/email_edit_text"
            android:layout_toRightOf="@+id/password_text_view"
            android:inputType="textPassword"
            android:text="" />

        <Button
            android:id="@+id/login_user_button"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_below="@+id/password_edit_text"
            android:layout_centerHorizontal="true"
            android:layout_marginTop="10dp"
            android:background="@color/colorPrimary"
            android:text="ログイン"
            android:textAppearance="?android:attr/textAppearanceMedium"
            android:textColor="@android:color/white"
            android:textStyle="bold" />


        <Button
            android:id="@+id/create_user_button"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_below="@+id/login_user_button"
            android:layout_centerHorizontal="true"
            android:layout_marginTop="10dp"
            android:background="@color/colorPrimary"
            android:text="新規登録"
            android:textAppearance="?android:attr/textAppearanceMedium"
            android:textColor="@android:color/white"
            android:textStyle="bold" />


    </RelativeLayout>

</RelativeLayout>

MainAvtivity.java

    private FirebaseAuth mAuth
    private FirebaseAuth.AuthStateListener mAuthListener;;

    private Button createUserButton;
    private Button loginUserBotton;

    private EditText emailEditText;
    private EditText passwordEditText;


    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);

        mAuth = FirebaseAuth.getInstance();

        mAuthListener = new FirebaseAuth.AuthStateListener() {
            @Override
            public void onAuthStateChanged(@NonNull FirebaseAuth firebaseAuth) {
                FirebaseUser user = firebaseAuth.getCurrentUser();
                if (user != null) {
                    // サインイン
                    Intent intent = new Intent(MainActivity.this, SecondActivity.class);
                    startActivity(intent);
                    return;
                } else {
                    // サインアウト
                }
            }
        };


        emailEditText = (EditText) findViewById(R.id.email_edit_text);
        passwordEditText = (EditText) findViewById(R.id.password_edit_text);

        createUserButton = (Button) findViewById(R.id.create_user_button);
        createUserButton.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
            @Override
            public void onClick(View v) {
                mAuth.createUserWithEmailAndPassword(emailEditText.getText().toString(), passwordEditText.getText().toString())
                        .addOnCompleteListener(MainActivity.this, new OnCompleteListener() {
                            @Override
                            public void onComplete(@NonNull Task task) {

                                if(task.isSuccessful()) {
                                    // ユーザー作成完了
                                } else {
                                    Toast.makeText(MainActivity.this, "登録に失敗しました。", Toast.LENGTH_SHORT).show();
                                }
                            }
                        });
            }
        });

        loginUserBotton = (Button) findViewById(R.id.login_user_button);
        loginUserBotton.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
            @Override
            public void onClick(View v) {
                mAuth.signInWithEmailAndPassword(emailEditText.getText().toString(), passwordEditText.getText().toString())
                        .addOnCompleteListener(MainActivity.this, new OnCompleteListener() {
                            @Override
                            public void onComplete(@NonNull Task task) {
                                if(task.isSuccessful()) {
                                    // ユーザーログイン完了
                                } else {
                                    Toast.makeText(MainActivity.this, "ログインに失敗しました。", Toast.LENGTH_SHORT).show();
                                }
                            }
                        });

            }
        });
    }

 　 @Override
    public void onStart() {
        super.onStart();
        mAuth.addAuthStateListener(mAuthListener);
    }

    @Override
    public void onStop() {
        super.onStop();
        if (mAuthListener != null) {
            mAuth.removeAuthStateListener(mAuthListener);
        }
    }

onAuthStateChanged:
認証の状態（サインイン、サインアウト）が変わったときログインした時、起動した時などで返ってきます。

createUserWithEmailAndPassword:
ユーザの登録を行います。

signInWithEmailAndPassword:
登録しているユーザのログイン認証をします。

他に認証をするために、FirebaseConsoleでログイン方法の設定をしなければいけません。
Authenticationのログイン方法で、メール/パスワードを有効にします。

以上で、ログイン認証ができるようになります。

今回のアプリのレイアウトです。

※パスワードは短いとエラーが返ってきます。

以上です。